Sampling（取樣）與 Aliasing（混疊）
電腦音樂製作 W2 · 2026.09.14
秉聖老師 · 電腦音樂製作 115-1
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Delay 公式中未定義的變數：格距
前一週將 delay（延遲）定義為「回推 M 格」。
格子的來源與每格的時間長度尚未定義。
本學期所有「回推若干格」之描述，格距皆由本週定義的 sampling rate（取樣率）決定。
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Sampling（取樣）：連續訊號離散化為一串數值
Sampling rate（取樣率）決定切分之疏密；前一週定義之「M 格」即在此刻度上計數。
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Sampling rate（取樣率）：單位時間內的切分數
44100 Hz
CD 標準：每秒切分 44,100 格。
48000 Hz
影像、廣播常用：每秒切分 48,000 格。
格子越密，可記錄之訊號變化越快，即可記錄頻率上限越高；密度門檻詳見下一節。
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Part 2
Sampling Theorem 與 Aliasing
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Sampling theorem（取樣定理）：可還原頻率的計算門檻
對頻帶有限（band-limited）訊號，sampling rate 高於最高頻率兩倍時，理論上可完整重建原始波形。此門檻由 Harry Nyquist 於 1928 年提出，Claude Shannon 於 1949 年證明。（bandpass sampling（帶通取樣）等特殊情況適用不同規則，此處僅論一般情況。）
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頻率超過 sampling rate 二分之一時的行為
頻率高於二分之一 sampling rate 時，sample 無法保留其原始波形資訊。
該頻率會被誤判為另一頻率，其值低於原頻率，並落於表面正常的可還原範圍內。
此現象具有兩個名稱：aliasing（混疊）與 foldover（折返）。Aliasing 為結果，foldover 為過程，指涉同一現象。
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同一組 sample 對應之兩條正弦波
Aliasing 的機制：高於此門檻之輸入頻率，於取樣後之訊號中與某一低頻無法區分。
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輸入頻率上升與聽覺頻率下降之對應關係
公式：foldover 後之頻率 = |sampling rate − 輸入頻率|，適用於輸入頻率介於 fs/2 與 fs 之間。例：sampling rate 為 8000 Hz，輸入 5000 Hz 時，聽覺頻率為 3000 Hz。
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Aliasing 之聽覺特徵
並非單純音量降低或音色模糊。
Foldover 產生之頻率與原訊號通常不成整數比，聽感刺耳、不成調，近似無關聯之雜訊。
頻率變化本身連續：原本平滑上升之音高，於抵達該門檻時方向鏡射反轉為平滑下降，改變的是方向而非連續性。
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Aliasing 為幾何後果，非系統故障
並非電路故障，亦非程式錯誤。
同一組 sample，數學上同時滿足兩條波形。系統缺乏足以區分兩者的額外資訊。
ADC 前端通常配置 filter（濾波器，或內建等效處理），於取樣前移除高於此門檻之頻率。此為預防措施，非錯誤修正。
Aliasing 並非人為瑕疵，而是 sampling 動作本身的幾何後果。
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Part 3
訊號鏈：從空氣到喇叭
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訊號鏈之分段：由空氣至喇叭
訊號鏈兩端皆為連續訊號，僅中段經切分為數值。
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麥克風：空氣壓力轉換為電壓
空氣壓力波推動振膜，振膜運動轉換為電壓變化。
此階段訊號仍為連續：電壓於任一時刻皆有值，尚未經過 sampling。
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ADC 執行之兩項運算：sampling 與 quantization（量化）
縱向格線為 sampling，將時間切分，即本週主題；橫向格線為 quantization（量化），將振幅切分，屬另一獨立軸線，留待後續章節。
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DAC：離散數值重建為連續訊號
DAC 僅接收一串數值，經 low-pass filter（低通濾波器）內插為平滑訊號。此重建之前提為輸入未超過 sampling theorem 之門檻。
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同一訊號鏈之兩種呈現方式
兩者皆於固定之 engine sampling rate 上逐 sample 運算，內部均無真正類比電壓；實際 ADC／DAC 僅發生於音訊硬體交界處（VCV 的 Audio 模組、Max 的 adc~ / dac~）。差異在於此運算是否被呈現，而非其是否存在。
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介面設計預設之思考方式
VCV
將整條訊號鏈呈現為可視、可操作之電壓線。其運算方式與 Max 相同，於固定 engine sampling rate 上逐 sample 進行，並產生 1-sample delay。VCV 以「接線」介面提供直覺操作，較少揭示其亦為 sampling 運算之事實。
Max
將 message（訊息，如 bang、數字）與 signal（訊號，逐 sample 運算）分為兩類物件、兩種顏色的連線。此設計要求使用者預先判定：該運算為離散事件，或逐 sample 運算之訊號。
兩套系統底層運算相同，皆無真正連續之類比訊號。差異並非「連續與離散之分」，而在於是否呈現 sampling 此一運算層次。此分歧為本學期反覆出現之議題，W7 將直接處理。
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Part 5
聽覺也有時間解析度的界線
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聲音間隔與知覺融合之關係
Sampling theorem 界定頻率的最小取樣密度，以避免誤判。
平行的問題為：兩個先後發生之聲音，間隔多短時，聽覺會將其判定為單一事件？
此現象屬於知覺範疇而非 sampling，但結構相似：兩者皆涉及「多近算同一格」之判準。
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感知融合與回聲之時間分界
Helmut Haas 1949 年博士論文（1951 年發表於《Acustica》，以語音進行單一 echo（回聲）實驗）：於此 delay 範圍內，方向感由先到之聲音決定，即使後到語音音量高出 10 dB 亦然。此 10 dB 數值取自語音材料，非適用於所有聲音類型；融合時間窗亦隨聲音材質而異，簡單喀噠聲之時間窗較窄，語音與複雜音色較寬（Wallach、Newman、Rosenzweig，同為 1949 年）。
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此界線由實驗量測而得，非理論推導
Nyquist 界線為訊號處理之數學結果，可推導、可證明。
Haas zone 界線為聽覺實驗測得之門檻，隨聲音材質而變化，並無單一正確數值。
兩種界線均回答「多近算同一格」之問題：前者依據計算，後者依據聽覺實驗。
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1948
Pierre Schaeffer《Étude aux chemins de fer》
火車聲音錄製後刻入唱片，以轉盤反覆播放、倒轉，並以鎖定溝紋（sillon fermé）製造循環，拼貼構成此作品。磁帶剪接技術至 1951 年新工作室啟用後方才出現；1948 年可用之工具僅唱片與轉盤，尚無磁帶。
1948 年 10 月 5 日於法國廣播首播，節目名稱為《Concert de bruits》。常被視為第一首 musique concrète（具體音樂）作品：以錄製之聲音本身作為作曲素材，而非用以記錄演奏。
照片：Studio Harcourt / Marquis，Wikimedia Commons，美國境內公有領域。
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1954
Karlheinz Stockhausen《Studie II》
完全以正弦波混音構成，未錄製任何真實世界聲音。全曲共 193 組聲音，每組選定五個指定頻率之正弦波，各自以相同音量錄製、混音，再送入殘響室重新錄音；音色差異源自頻率組合、整組之 amplitude envelope（音量包絡）與殘響時間，而非五音之間的音量比例變化。
1954 年 10 月 19 日於科隆首演，常被視為第一份正式出版之電子音樂樂譜。
照片：Karlheinz Stockhausen，1980，Rob Croes / Anefo，Wikimedia Commons，CC0。
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1977
Alvin Lucier《Music on a Long Thin Wire》
一條長金屬線橫跨整個房間，兩端連接功率放大器之喇叭端子，由一台 sine-wave oscillator（振盪器）驅動，其中一端架設一顆磁鐵。
金屬線因磁場與訊號交互作用而震動，滑音、拍頻、諧波隨 oscillator 之頻率與音量緩慢變化。全程未經錄音，聲音直接由物理震動產生。
照片：Alvin Lucier，2017，Stephen Malagodi / Non Event，Wikimedia Commons，CC BY-SA 2.0。
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三部作品之比較
三種創作方式對「連續」之處置方式互異；本學期將反覆提出：格子出現於何處？
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練習1：Aliasing 聽辨
錄製 30 至 60 秒聲音，須能聽出 aliasing 痕跡。
以 VCV 為主：降低 sampling rate、將訊號推高於 Nyquist frequency，或以其他可行方法產生此現象。
須附一句說明：所涉原理與實現方法。評分依據為原理掌握程度，非聲音美感。
交件方式與其他規則見 W1 公告；第 9 節個別諮詢時段可預約討論。
本週學習目標 VCV Rack，可在課外自行完成
- [W2-L1] 能接出最小訊號鏈 VCO→VCA→Audio 並錄下 30 秒；判準：檔案能播，且說得出 VCA 為何不可省略。
- [W2-L2] 能在 VCV 做出可聽見的 aliasing（推高輸入頻率或降低取樣率）；判準：指得出錄音中哪一段是混疊產物。
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W3（9/21）：振盪與波形
W3（9/21）進入 additive synthesis（加法合成）與 wavetable；波形為頻譜之另一種表示法。
練習2：自製波形。
停課週（W4，9/28）作業已於 W1 公告：安裝 VCV 與 Max，各錄製 30 秒聲音。
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