Modulation
20 Hz 感知邊界

電腦音樂製作 W6 · 2026.10.12
秉聖老師 · 電腦音樂製作 115-1
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Part 1

Modulation
20 Hz 感知邊界
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Modulation 的三種型態

組合方式對應名稱
Multiplication（音訊 × 音訊）ring modulation
Multiplication（音訊 × 慢速訊號）tremolo、envelope（包絡）
Delay 時間本身受 modulationchorus、flanger、Doppler

前兩列常見說法為「multiplication 僅因速率快慢而異」，此說法遺漏乘數是否穿越零點這項條件。

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命名依據兩項獨立參數：極性與速率

乘數是否穿越零點，與 modulation 速率，為兩項互相獨立的參數。極性決定運算的名稱（ring modulation 指的是乘法器拓樸本身），速率決定聽感類別。下表為本課程使用的對照，非完備分類：AM 之 modulation depth 大於 1 時包絡亦會穿零。

慢速快速
單極　乘數恆為正值tremoloAM
雙極　乘數週期性穿越零點聽感近似 tremolo，實為 ring modulationring modulation

220 Hz 乘上雙極 4 Hz 正弦波後，頻譜出現 216 Hz 與 224 Hz 兩個成分，220 Hz 本身消失；modulation 速率低，並不表示該操作屬於 tremolo。

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Modulator 極性圖示

Unipolar 0 波形恆位於零線之上，不穿越零點 Bipolar 0 波形以零線為中心，週期性穿越零點
Unipolar modulator 恆為正值，波形不觸及零線以下；bipolar modulator 以零線為中心，週期性穿越零點。
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同一 modulator（調變器）沿速率軸移動

可解析為個別事件：rhythm（節奏） 不可解析為個別事件：timbre（音色） 4 Hz rhythm 20 Hz 邊界 400 Hz timbre 4 20 100 400 Hz ≈20 Hz　此界線取決於聽覺解析力，非精確數學邊界
圖中 modulation 之參數未指定，可為音量或音高。本圖只變動速率、其餘條件固定；實際聽感另受 depth、波形、carrier 與頻率比影響，depth 為零時任何速率皆不成立。
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AM：Modulator 含 DC offset

上下兩條虛線為 envelope（包絡），恆為正值，不產生極性反轉 y[n] = (1 + m · mod[n]) · carrier[n]
Modulation signal 疊加常數項後再與 carrier（載波）相乘，使振幅規律起伏，carrier 本身不反轉至負值。
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Ring modulation：Modulator 不含 DC offset

兩條虛線每半週期互換位置，carrier 相位隨之反轉 y[n] = mod[n] · carrier[n]　（無 DC offset 項）
Modulation signal 本身具正負值；每當 modulator 變號，輸出極性隨之反轉（carrier 本身每半週期即過零，與此無關）。金屬感主要來自和頻與差頻兩個成分與 carrier 之間的非諧波關係。
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AM 與 Ring Modulation 之比較

AM220 Hz400 Hz×含 DC offset，220 Hz 保留180220未消失620頻率 (Hz) → Ring modulation220 Hz400 Hz×無 DC offset，bipolar180220已消失620頻率 (Hz) →
220 − 400 = −180（絕對值 180 Hz），220 + 400 = 620 Hz，兩種操作之邊帶頻率相同。差異僅在 220 Hz 之 carrier 分量：AM 保留，ring modulation 移除。橫軸未等比例縮放，以利呈現 180 Hz 與 220 Hz 兩條譜線。上週 02-ringmod.wav 音檔中消失者即為此分量。
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第二種路徑：受 modulation 影響者為音高而非音量

LFO 接於 oscillator（振盪器）之頻率輸入，而非音量輸入。

Modulation 速率較慢時，感知結果為vibrato（顫音），音高於兩值間規律擺動。此非 multiplication：頻率受 modulation 時，改變者為相位累積速度，非波形振幅。

此 LFO 速率提升至約 20 Hz 以上後，pitch modulation 通常不再被聽為抖動，而併入 timbre。此轉換帶的位置另受 depth 與 carrier 關係影響，非 FM 之定義門檻。

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訊號路徑：LFO 接於 Oscillator 頻率輸入

LFO 連接至頻率輸入 Oscillator freq input 輸出 對照：AM／ring modulation 連接於振幅輸入，此處連接於頻率輸入
此連接方式使 LFO 直接驅動 oscillator 之頻率，區別於 AM／ring modulation 驅動振幅輸入之連接方式。
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FM 與 PM：單一正弦調變下為同一個式子

y(t) = sin( 2π fc t + I · sin(2π fm t) )

fc 為 carrier frequency，fm 為 modulation frequency。當 fm 約 20 Hz 以上，其效應多半併入 timbre，不再被聽為獨立的音高抖動；此為粗略的感知轉換帶，非固定門檻。

I 為 modulation index。頻率偏移量為 Δf = I · fm，因此固定 I 而改變 fm 時，瞬時頻率的偏移量隨之改變。當 I = 0 時，訊號僅剩 carrier 本身。

此式將 modulation signal 直接加在相位項上，嚴格說是 phase modulation；正弦 FM 對 modulation signal 積分後即得此形式，故兩者在單一正弦調變下寫出來相同。數位實作多半直接採用相位形式。

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Phase Accumulator 受 Modulation 之影響

未受調變之相位 phase = 2πf_c·t　（等速累積） 受 modulation 之相位 phase = 2πf_c·t + I·sin(2πf_m·t)
未受調變之相位以等速累積；受 modulation 之相位在等速累積的基礎上疊加一週期性偏移項。
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Modulation Index：頻率偏移與 Modulation Frequency 之比

I = Δf / fm

Δf 頻率偏移

音高偏移之最大範圍。此值越大，sideband（邊帶）分布範圍越廣。

fm Modulation Frequency

Modulation 之速率。相同 Δf 條件下，modulation frequency 越低，index 反而越大。

Modulation index 為控制 sideband 展開範圍之參數，非振幅相關參數。

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瞬時頻率之偏移範圍

f_c − Δf f_c f_c + Δf 瞬時頻率往返擺動範圍
受 modulation 之瞬時頻率於 f_c − Δf 與 f_c + Δf 之間往返擺動，Δf 為頻率偏移之最大值。
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Modulation Index = 0：僅 Carrier

Modulation index 為 0 時，訊號僅含 carrier 頻率成分，無 sideband。
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Modulation Index = 1：Sideband 開始出現

Modulation index 增至 1 時，carrier 兩側開始出現 sideband，振幅由 Bessel function Jk(I) 決定。
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Modulation Index = 5：Sideband 展開

Modulation index 增至 5 時，sideband 大幅展開；carrier 振幅反低於 index = 1 時，此為 Bessel function Jk(I) 本身之振盪特性，非繪圖誤差。
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Sideband 之頻率位置

f = fc ± k · fm　　k = 0, 1, 2, 3 ...

各 sideband 頻率為 carrier frequency 加減整數倍之 modulation frequency。k 值越大，離 carrier 越遠，但振幅未必單調遞減，如前圖所示。

在兩者皆為單一正弦 carrier 與單一正弦 modulator 的前提下，ring modulation 只有兩個 sideband，FM 則產生一整列，且振幅隨 index 為非線性變化。此前提放寬後，相乘的頻譜是兩輸入頻譜的卷積，成分不只兩個。實務上 FM 的參數互動較多，手動調參較難預期結果，但其 sideband 位置與振幅有閉式解。

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第三種路徑：非線性波形映射

振幅路徑屬 multiplication；頻率路徑非 multiplication，而為 modulation signal 疊加於相位項。兩者性質上皆為一訊號驅動另一訊號。

Wavefolding 二者皆非。訊號超過閾值時不被 clipping，而被折返並沿反方向延續，此過程不依賴第二個訊號，屬對波形本身之非線性映射。

上週三項零件（delay、multiplication、addition）拼不出本節兩條路徑：頻率 modulation 需要相位累積，wavefolding 需要非線性映射。

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Waveshaping 之 Transfer Function

線性映射（無 waveshaping） 輸出 = 輸入（identity） Wavefolding 之 transfer function 輸入超過閾值處，映射曲線折返
線性映射之輸出與輸入成正比；wavefolding 之 transfer function 在輸入超過閾值處發生折返，此非線性映射即為波形複雜度上升之來源。
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正弦波之摺返：摺一次

以較低振幅驅動正弦波，訊號超過閾值後摺返一次，波形略為偏離原始正弦形。
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僅產生奇次泛音：摺一次之頻譜

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摺一次之頻譜以 1、3 次泛音為主，偶次泛音振幅為零。此結果成立於本圖之對稱條件：輸入無 DC offset，且折返映射為奇對稱。
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正弦波之摺返：摺三次

驅動振幅提高後，訊號摺返三次，波形複雜度隨之上升。
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僅產生奇次泛音：摺三次之頻譜

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摺三次之頻譜中 5、7、9 次泛音出現，偶次泛音仍為零。
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正弦波之摺返：摺七次

驅動振幅進一步提高後，訊號摺返七次，波形呈現高度複雜之結構。
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僅產生奇次泛音：摺七次之頻譜

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摺七次之頻譜顯示高次泛音密集分布；偶次泛音為零，因在上述對稱條件下折返後之波形仍為奇函數。實際 wavefolder 若含 bias 或不對稱飽和，偶次泛音會出現。
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Delay Time 受 Modulation

入 delay 出 M(t)：delay time 隨時間變化

Chorus

Modulation 速率慢、深度淺，聽感近似多人齊唱同一音高。

Flanger

Modulation 速率慢，並含 feedback（回授）路徑，形成隨時間掃動之 comb filter 效果。

Doppler

Delay time 朝單一方向持續變化，區別於前兩者之來回擺盪，產生固定方向的音高位移。真實的救護車經過另含最近點前後的變號與距離衰減，此處只做其中一段。

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本週操作總覽

五條路徑分屬三類運算：multiplication、頻率／相位 modulation、非線性映射
×+DC offset
W6AM
multiplication + DC offset
×無 DC offset
W6ring modulation
multiplication，無 DC offset
頻率受 modulation
W6FM
頻率受 modulation
非線性 waveshaping
W6wavefolding
非線性映射
delayM(t) 變化
W6chorus / flanger / Doppler
delay 時間受 modulation
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VCV 與 Max，兩種預設

VCV Rack

Modulation 於 VCV Rack 中表現為實體纜線連接：LFO 輸出端接於 oscillator 之 FM 輸入端。電壓作為統一單位，音訊與控制訊號共用同一種連接方式。

Max/MSP

同一操作於 Max/MSP 表現為一個 cycle~ 之輸出接入另一個 cycle~ 的頻率輸入，構成資料流程圖。訊號於物件間流動，物件本身不代表電壓，而為連續運算之資料流。（兩個 cycle~ 相乘是另一件事，其結果為 ring modulation。）

同一個 frequency modulation 操作，於 VCV 對應電壓連接之思維框架，於 Max 對應資料類型之思維框架。此分歧為下週主題。

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練習 4　跨越 20 Hz 界線

本次練習製作 30–60 秒聲音，呈現 modulation 速率由 rhythm 推進至 timbre 之過程。

以 VCV 為主，可採 AM、ring modulation 或 FM 其中一種為主軸，將 modulation 速率推過該邊界。Wavefolding 不含第二個訊號、沒有 modulation 速率可推，若要採用須另以一個訊號調變其 drive 量，並在說明中寫清楚被推過邊界的是哪一個速率。

繳交檔案應附一句說明，指出所用原理與工具。評分標準為原理正確性，非聲音美感。

本週學習目標　VCV Rack，可在課外自行完成

  • [W6-L1] 能接出 FM 與 ring modulation 兩種 patch 並區分聽感；判準：各說一句話描述差異。
  • [W6-L2] 能把 LFO 速率從 1 Hz 以下連續推過 20 Hz 並錄下全程；判準：指得出轉變發生的時間點。
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Part 2

歷史
被推至極限的 vibrato
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1967　Stanford

FM 不是 Yamaha 發明的

John Chowning 於 Stanford 人工智慧實驗室，將 vibrato 速率逐步提高。

當 vibrato 速率超過人耳可追蹤範圍後，抖動感消失，代之以全新之 timbre，此即為本節所述之 20 Hz 界線。類比合成器已可將頻率納入 modulation；Chowning 之貢獻在於在數位領域將其建立為可控的合成方法並提出理論架構。「首位」一詞需排除更早反例，本課程未取得足以支持該排他句的來源，故不使用。

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1972　Stanford

Turenas：FM 與空間軌跡並置於同一作品

Chowning 撰寫程式，使聲音沿四聲道空間中的軌跡移動，並將此技術與其 FM timbre 演算法用於同一作品，該作品於 1972 年 4 月 28 日在 Stanford 首演。「首次結合」需排除更早反例，本課程未取得可支持該排他句的來源。

本作品於後續賞析段落再次播放。

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專利授權之受阻過程

Stanford 申請 FM 合成專利並尋求授權。所接洽之美國風琴公司均因當時尚未具備數位技術能力而婉拒。

1973 年，Stanford 將專利授權予 Yamaha。

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1983

DX7：走入商業市場的數位合成器

Yamaha 歷時十年將此演算法轉化為鍵盤樂器。DX7 於 1983 年上市，為首款商業成功之數位合成器，銷售逾二十萬台。

DX7 面板上沒有名為 modulation index 的旋鈕：有效的調變量由 operator output level、frequency ratio、algorithm、feedback 與 envelope 共同決定，其中 modulator 的 output level 影響最直接，但其刻度不等同 I＝Δf／fₘ。

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研究成果轉化為量產樂器之案例

一位研究者將控制參數推至人耳感知邊界之外，因而發現新的 timbre 領域。

十六年後，此一發現成為全球流行音樂之聲音特徵。電腦音樂研究轉化為量產樂器，構成該領域重要案例之一。

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Part 3

本週三件
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Iannis Xenakis　1977–78

La Légende d’Eer

為 Centre Pompidou 開幕建築裝置 Diatope 而作，七聲道，聲音於空間中移動，素材來源包含樂器聲、噪音，及電子合成三類。

本節以此作為聆聽對象，聽其聲音塊體如何堆疊與呼吸；作品內部實際使用哪些 modulation 手法，本課程未取得技術文獻佐證。

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Curtis Roads

Half-life

Roads 專精 granular（顆粒）與 pulsar synthesis。本作品在極短時間尺度上操作 sound grain；其是否使用本週所述之 modulation 與非線性運算，本課程未取得作曲家或技術文獻的直接說明，此處僅作為時間尺度的聆聽範例。

Roads 兼具研究者與作曲家身分，與前述歷史段落之 Chowning 相同。第 11 週將回顧其時間尺度分層理論。

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John Chowning　1972

Turenas

前述歷史段落所指之人，即為本作品作者。FM 合成發現後未久，Chowning 即以此技術模擬樂器 timbre，並使聲音於四聲道空間中移動。

研究者與作曲家身分重疊之現象，於電腦音樂史上並不罕見。

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下週

控制訊號與 envelope：VCV 與 Max 於此呈現兩種不同之設計哲學。

練習 4 繳交項目：30–60 秒，呈現跨越 20 Hz 邊界之聲音，並附一句說明。

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